RAZONES

Definición de razón: Es una comparación por cuociente
Una razón sirve para comparar dos cantidades:
Construyamos un modelo para la siguiente razón 3:4 o ¾ (se lee 3 es a 4)

Razón verdes a amarillas, se escribe 3:4 o ¾ . El orden de los términos es muy importante

Trabajo en grupo
Confeccionar 10 fichas bicolores (por un lado rojas y por el otro azul)

1.- Lanza las 10 fichas sobre la mesa Vuelve a lanzarlas si todas salieran del mismo color, pues no podrás compararlas)..Anota la razón:

a) de rojas a azules
b) de azules a rojas
c) de total a rojas
d) azules al total

2.- ¿Qué otras razones se dan entre las 10 fichas?
3.- Usa bichas bicolores para modelar estas 3 razones: 5:6, 7:9, 2/5 y dibuja los modelos correspondientes.
4.- Un árbol mide 18 metros de altura y proyecta una sombra de 10 metros a cierta hora.
Un poste que se encuentra en el mismo lugar a la misma hora proyecta una sombra
de 12 metros.

a) Escribe la razón árbol a su propia sombra
b) Escribe la razón sombra del árbol a sombra del poste
c) ¿Qué dato nos falta para tener la razón árbol es a poste?

FUNCIONES

FUNCIONES

Los conceptos de ecuación y el de función están fuertemente relacionados,

En la función se involucran dos conjuntos y una regla de asociación (que puede venir dada en forma de ecuación)

Las funciones en matemáticas permiten  sacar más información de los datos representados de lo que se ve a simple vista.

En muchos casos, resolver un problema científico consiste en encontrar la función que relaciona dos o más variables

Algunas aplicaciones: las leyes de Kepler, que describen las órbitas de los planetas, es decir, son reglas de asociaciones representadas como ecuaciones que describen cómo se mueven los planetas alrededor del Sol.

En meteorología permite conocer la temperatura, humedad, velocidad de viento, etc. en los días venideros. En la economía nos interesaría saber cómo van a variar los precios de bienes y servicios para invertir en la opción más prometedora. En la química se desea saber cuánto de tal o cual sustancia y a qué temperatura, presión, etc. generará tal cantidad de otra sustancia.

Todas estas son a base de funciones.

Producto o Composición de Funciones.

La idea principal es la aplicación sucesiva de funciones, esto es aplicar una función a continuación de otra.

Ejemplo.

Sea f:  Z -------> Z definida por f(X)= 3X - 1 

       g: Z -------> Z  definida por g(X)= 2X²

( Z------>Z, se lee "del conjunto Z al Z",osea que "X" puede ser cualquier número contenido dentro del conjunto Z)

Ambas funciones, se aplican a un número cualquiera, tomemos el 4, entonces la “X” va a ser igual a 4.

Primero se resuelve “f” y luego “g”, la función abreviada se escribe: g(f(4)).

f(4)= 3 x 4 – 1= 11

Entonces…

g(f(4)) = g(11) = 2 x 11² = 242

La función g(f) es llamada una composición de las funciones “f y g”

Se anota como “g o f”

Se lee “g aplicada a f” o “f seguida de g”

No es lo mismo “g o f” (la anterior) con “f o g”  

Comprobémoslo, con “f o g”. Con X = 4

f(g(x)).

g(4)=2 x 4² = 32

f(g(4))= f(32)= 3 x 32 – 1= 95

Los siguientes diagramas representan las situaciones a ejemplos anteriores

Generalizando el concepto de composición de funciones consideramos 2 funciones:

f : A ---> B ; g : B ---> C

Llamaremos composición de funciones de f y g a la función “g o f : A --> C”

Definido como: (g o f)(x) = g( f (x )) para todo x € A

Debemos hacer notar que para que la composición tenga sentido deberá cumplirse que la imagen de f este contenida en el dominio de g

f: Z ------> Z        f(x) = X²     

g: Z------> Z        g(x) = 5X

Seria...

(g o f)(x)= g(f(X))=  g(X²) = 5 x X²= 5X²

Reemplazemos a “X” por un 7

(g o f)(7)= g(f(7))=  g(7²) = 5 x 7²= 5 x 49= 245

Ejercicios:

f: R------->R       f(x)= X + 2

g: R------->R      g(X)= X²

  

Encuentra:

   1)   f o g=

   2)   g o f=

   3)   (f o g) (5)=

   4)   (g o f) (-2)=

Solución:

   1)   (f o g)(x) = f(g(x))= f(x²)= x²+2

   2)   (g o f)(x)= g(f(x))= g(x + 2) = (x + 2)² 

   3)   (f o g)(5)= f(g(5)) = f(5²)= 5² + 2 = 27

   4)   (g o f)(-2)= g(f(-2)) =g(-2+2)= g(0²)= 0