PROBABILIDADES

La probabilidad es una razón que parte del número 0 y llega hasta el número 1
Se calcula con la fórmula:

Donde A es un suceso o caso

Veamos un ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 2 al lanzar un dado?
Solución:

Para calcular la probabilidad solo debemos encontrar el número de casos posibles y el número de casos favorables

Al lanzar un dado tenemos 6 casos posibles, los cuales son: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Y los números mayores que 2 son: {3, 4, 5, 6}
Por lo tanto el resultado es:
Ejemplo2:
En una urna hay 6 bolitas blancas, 3 bolitas amarillas y una bolita roja. Extraemos al azar una bolita y nos fijamos solamente en su color. ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita extraída sea de color blanco?

Solución:

Igual que en el primer ejemplo debemos encontrar el numero de casos posibles y el numero de casos favorables
El numero de casos posibles son 10, ya que hay 10 posibilidades de sacar una bolita.
Ahora bien de sacar una bolita blanca solo tengo 6 posibilidades de un total de 10.
Por lo tanto casos favorables:6 y casos posibles:10

El resultado es:
Ejemplo 3:
Un mecánico tiene en su maletín llaves planas de las medidas 9 al 17 mm inclusive. Necesita soltar una tuerca de 11 mm para una reparación. Si elige una de sus llaves al azar, ¿Cuál es la probabilidad que sea de la mediad exacta de la tuerca?

Solución:
Al ver la figura nos damos cuenta de que hay 9 llaves y solo 1 es de 11 mm.
Por lo tanto casos favorables: 1 y casos posibles: 9
El resultado es:
Para el caso de lanzar dos dados o un dado dos veces se tienen en total 36 combinaciones de números, las cuales podemos ver así:
Entonces gracias a este gráfico podemos calcular ejemplos como:
Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sea divisible por tres? Solución:

Usemos el grafico para encontrar todas las combinaciones que pide el ejemplo, se tienen: total de 36

Por lo tanto el resultado es:

Ejemplo 4: Se lanzan dos dados usuales, uno amarillo y uno blanco, ¿Cuál es la probabilidad que al hacerlo el dado amarillo muestre menos puntos que el blanco?

Hazlo tú Otro caso especial es cuando se lanzan dos o más monedas, se tiene que:

Y así sucesivamente…

Ejemplo: José y Daniel juegan a lanzar una moneda. José dice: "Si lanzo dos veces seguidas una moneda al aire tengo más probabilidades de obtener 2 veces cara, que si la lanzo 3 veces". Daniel dice que José está equivocado.¿Quién tiene la razón? ¿Por qué?

Solución:
Para saber quien tiene la razón solo debemos averiguar la probabilidad de sacar dos caras al lanzar dos veces la moneda , y al lanzar tres veces la moneda.

Veamos la figura anterior para encontrar las probabilidades:

Respuesta: la razón la tiene Daniel, ya que la probabilidad de sacar dos caras al lanzar tres veces la moneda es mayor que al lanzarla dos veces.

EJERCICIOS

1) Claudia participa en una rifa de 150 números. Si se venden todos los números y Claudia tiene una probabilidad de de ganar, ¿cuántos números compró?

2) Daniela tiró 8 veces un dado no cargado y en todos los tiros obtuvo un 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento obtenga un 5?

3) Un dado está trucado para que el 6 tenga una probabilidad de salir de 0,25. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un 6?

4) La probabilidad porcentual de sacar un trébol de un naipe de 52 cartas es:

5) Rayén recibe un llavero con 7 llaves, de las cuales sólo abre la puerta des Paraíso. Como no sabe cual es esa llave, comienza a intentar abrir la puerta eligiendo sucesivamente al azar llaves de su llavero, pero teniendo cuidado de no repetir ninguna. ¿Cuál es la probabilidad que logre entrar al Paraíso al tercer intento?

Hasta el momento hemos calculado probabilidades solo dividiendo el número de casos favorables, por el número de casos posibles.

Con ejemplos como:

¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado el número que salga sea impar?

Solución:

Sea A: salga número impar

P(A) = 3/6 = 1/2

Pero como calculamos la probabilidad de que al tirar el dado el número que salga sea menor que 3 ó mayor que 4

Solución: Sean

A: salga menor que 3

B: salga mayor que 4

P(de que el número que salga sea menor que 3 ó mayor que 4) es:

P(A ó B) = P(A) + P(B) = 2/6 + 2/6 = 4/6

¿Por qué? Veamos el siguiente dibujo:

Casos posibles = 6

Casos favorables = 4

Menores que 3 o Mayores que 4

Veamos otro ejemplo.

De una baraja de naipe inglés, con sus 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar un 4 o un 5?

Solución: Sea

A: sacar un 4 ------> P(A) = 4/52
B: sacar un 5 ------> P(B) = 4/52

Por lo tanto: P(A ó B) = P(A) + P(B) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13

Ejemplo 3:
¿Qué tal si consideras de nuevo el mazo de naipe inglés del ejemplo anterior y sacas una carta? Supón que ganas apenas sale una figura o un corazón.

Entonces ¿Cuál es tú probabilidad de éxito?

Solución:
Del total de 52 cartas, las cartas ganadoras son todas las de corazones, las cuales son 13

Y a éstas hay que añadirles las figuras de las otras tres pintas, las cuales son 9
Por lo tanto la probabilidad que tenga éxito será:

Pero como la idea no es estar haciendo dibujos, calculemos esta probabilidad usando lenguaje simbólico como lo habíamos visto anteriormente:

Sea

A: sacar corazón ---------> P(A) = 13/52
B: sacar figura -----------> P(B) = 12/52
P(sacar corazón ó sacar figura)

= P(A ó B)
= P(A) + P (B)
= 13/52 + 12/52
= 25/52

Y nos damos cuenta que los resultados son diferentes ¿Por qué?

Porque en el último cálculo de resultado 25/52, sin darnos cuenta contamos dos veces las 3 figuras de corazón entre los casos favorables.

Entonces P(sacar corazón ó sacar figura)

= P(A ó B)
= P(A) + P (B)
= 13/52 + 12/52
= 25/52
Habría que restarles 3/52, para que el resultado fuera el correcto.

Como conclusión tenemos que:
Siendo

A: sacar corazón
B: sacar figura
P(sacar corazón ó sacar figura) = P(sacar corazón) + P(sacar figura) – P(sacar figura de corazón)

Ahora como regla general del “ ó “ en probabilidades usaremos la siguiente fórmula:

Donde A y B son dos sucesos cualesquiera
(A ó B) quiere decir que ocurra alguno de los dos sucesos
(A y B) quiere decir que A y B ocurren al mismo tiempo

Ejercicios

1) Una bolsa contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 11 bolas negras. Si se extrae una bola al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca o roja?

2) Lanzas 3 monedas y ganas si obtienes más de una cara o un número impar de caras. ¿Cuál es la probabilidad de éxito en este juego?

Como ya vimos como calcular la probabilidad de un “ ó “, veamos ahora como calcular la probabilidad de un “ y “.

Ejemplo:
Si lanzamos un dado dos veces, la probabilidad de obtener 5 en el primer lanzamiento y un 2 en el segundo lanzamiento es:

Solución:

Viendo el cuadro nos damos cuenta que solo una de las 36 combinaciones posibles, cumple la condición del ejemplo.

Por lo tanto P(sacar 5 y sacar 2) = 1/36
Pero ahora resolvamos el ejemplo utilizando lenguaje simbólico y teniendo en cuenta el resultado anterior.

P(sacar 5 y sacar 2)
= P(sacar 5) y P(sacar 2)
= 1/6 y 1/6

¿Cómo podemos conseguir que este resultado sea 1/36?
Fácil, solo multiplicando.

Entonces P(sacar 5 y sacar 2)
= P(sacar 5) · P(sacar 2)
= 1/6 · 1/6
= 1/36

Como regla general del “ y “ tenemos que:



Eso si, siempre y cuando la ocurrencia de un suceso no afecte a la ocurrencia del otro suceso.

1) Si de un naipe de 52 caras sacamos una carta primero y otra después, reponiendo la primera al mazo, la probabilidad de obtener un corazón en la primera carta y un as en la segunda es:

2) Si de un naipe de 52 cartas sacamos sucesivamente dos cartas, la probabilidad de obtener 2 tréboles es:

3) En una caja hay fichas de color blanco, rojo y azul. Hay en total 14 fichas, 5 de ellas son blancas y la probabilidad de sacar una blanca o azul es 4/7. el número de fichas azules es entonces:

4) La probabilidad de que un alumno haya aprobado la parte teórica del examen para obtener licencia para conducir es 0,68; la de que haya aprobado el examen práctico es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Elegido un alumno al azar, la probabilidad de que haya aprobado el examen para obtener licencia es:

TRIÁNGULOS

Los triángulos se pueden clasificar según la longitud de sus lados:

Los triángulos también se clasifican según las medidas de sus ángulos:

Los ángulos de un triangulo suman SIEMPRE 180º

* Si un triangulo obtusángulo tiene 1 ángulo obtuso, ¿cómo son los otros 2 ángulos? ¿Por que?

Los otros 2 ángulos son agudos, porque tienen que cumplir que en el interior del triángulo los ángulos sumen 180º.

* ¿Puede un triangulo ser acutángulo e isósceles? ¿Y rectángulo y escaleno? ¿Por qué?

Si, el acutángulo y el isósceles tienen ángulos agudos, y el rectángulo con el escaleno siempre que el rectángulo tenga sus lados distintos.

* ¿Puede un triangulo tener ángulos de 55º, 90º y 45º? ¿Y de 23º, 57º y 100º? ¿Por qué?

No, solo en el segundo caso, puesto que los ángulos suman 180º:

1º caso: 55º + 90º + 45º = 190º
2º caso: 23º + 57º + 100º = 180º


Ahora pon en práctica todo lo que haz aprendido.

Ejercicios: Hallar los ángulos que faltan.

CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros son cualquier polígono que posea 4 lados. Los podemos encontrar hasta en los juegos, como en el ajedrez y las damas que se juegan sobre tableros cuadrados divididos en cuadrados menores

Algunos cuadriláteros tienen nombres específicos:

DIAGONAL: es un segmento que une a dos vértices de un polígono sin ser de sus lados. Las diagonales te ayudarán a sumar medidas de ángulos.

Al trazar una diagonal en la figura, se forman 2 triángulos ¿Qué pasa si trazas 2 diagonales? Inténtalo.

Los ángulos de un cuadrilátero suman SIEMPRE 360º

Ahora pon en práctica todo lo que haz aprendido

Ejercicios: Identifica que tipo de cuadrilátero es y halla los ángulos que faltan.

TIPO DE FUNCIONES

Función inyectiva:

Se dice que una función f es inyectiva si los elementos del conjunto B (imagen) le corresponde un solo elemento del conjunto A (pre-imagen). Esta función es llamada inyectiva o 1 a 1.


Función Epiyectiva:

Una función es Epiyectiva (exhaustiva, o suprayectiva, o suryectiva, o sobreyectiva) cuando todo elemento del conjunto de llegada (B) es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida (dominio o A).

Función Biyectiva:

Sea f una función biyectiva de A en B, si y sólo si f es epiyectiva e inyectiva a la vez, es decir que todos los elementos del conjunto inicial (A) tengan una imagen distinta en el conjunto de llegada (B) (inyectiva), y que ademas el recorrido sea igual al conjunto de llegada (epiyectiva)

Una condicion necesaria y suficiente es que la cardinalidad del conjunto inicial sea igual a la cardinalidad del conjunto final.

RAZONES

Definición de razón: Es una comparación por cuociente
Una razón sirve para comparar dos cantidades:
Construyamos un modelo para la siguiente razón 3:4 o ¾ (se lee 3 es a 4)

Razón verdes a amarillas, se escribe 3:4 o ¾ . El orden de los términos es muy importante

Trabajo en grupo
Confeccionar 10 fichas bicolores (por un lado rojas y por el otro azul)

1.- Lanza las 10 fichas sobre la mesa Vuelve a lanzarlas si todas salieran del mismo color, pues no podrás compararlas)..Anota la razón:

a) de rojas a azules
b) de azules a rojas
c) de total a rojas
d) azules al total

2.- ¿Qué otras razones se dan entre las 10 fichas?
3.- Usa bichas bicolores para modelar estas 3 razones: 5:6, 7:9, 2/5 y dibuja los modelos correspondientes.
4.- Un árbol mide 18 metros de altura y proyecta una sombra de 10 metros a cierta hora.
Un poste que se encuentra en el mismo lugar a la misma hora proyecta una sombra
de 12 metros.

a) Escribe la razón árbol a su propia sombra
b) Escribe la razón sombra del árbol a sombra del poste
c) ¿Qué dato nos falta para tener la razón árbol es a poste?

FUNCIONES

FUNCIONES

Los conceptos de ecuación y el de función están fuertemente relacionados,

En la función se involucran dos conjuntos y una regla de asociación (que puede venir dada en forma de ecuación)

Las funciones en matemáticas permiten  sacar más información de los datos representados de lo que se ve a simple vista.

En muchos casos, resolver un problema científico consiste en encontrar la función que relaciona dos o más variables

Algunas aplicaciones: las leyes de Kepler, que describen las órbitas de los planetas, es decir, son reglas de asociaciones representadas como ecuaciones que describen cómo se mueven los planetas alrededor del Sol.

En meteorología permite conocer la temperatura, humedad, velocidad de viento, etc. en los días venideros. En la economía nos interesaría saber cómo van a variar los precios de bienes y servicios para invertir en la opción más prometedora. En la química se desea saber cuánto de tal o cual sustancia y a qué temperatura, presión, etc. generará tal cantidad de otra sustancia.

Todas estas son a base de funciones.

Producto o Composición de Funciones.

La idea principal es la aplicación sucesiva de funciones, esto es aplicar una función a continuación de otra.

Ejemplo.

Sea f:  Z -------> Z definida por f(X)= 3X - 1 

       g: Z -------> Z  definida por g(X)= 2X²

( Z------>Z, se lee "del conjunto Z al Z",osea que "X" puede ser cualquier número contenido dentro del conjunto Z)

Ambas funciones, se aplican a un número cualquiera, tomemos el 4, entonces la “X” va a ser igual a 4.

Primero se resuelve “f” y luego “g”, la función abreviada se escribe: g(f(4)).

f(4)= 3 x 4 – 1= 11

Entonces…

g(f(4)) = g(11) = 2 x 11² = 242

La función g(f) es llamada una composición de las funciones “f y g”

Se anota como “g o f”

Se lee “g aplicada a f” o “f seguida de g”

No es lo mismo “g o f” (la anterior) con “f o g”  

Comprobémoslo, con “f o g”. Con X = 4

f(g(x)).

g(4)=2 x 4² = 32

f(g(4))= f(32)= 3 x 32 – 1= 95

Los siguientes diagramas representan las situaciones a ejemplos anteriores

Generalizando el concepto de composición de funciones consideramos 2 funciones:

f : A ---> B ; g : B ---> C

Llamaremos composición de funciones de f y g a la función “g o f : A --> C”

Definido como: (g o f)(x) = g( f (x )) para todo x € A

Debemos hacer notar que para que la composición tenga sentido deberá cumplirse que la imagen de f este contenida en el dominio de g

f: Z ------> Z        f(x) = X²     

g: Z------> Z        g(x) = 5X

Seria...

(g o f)(x)= g(f(X))=  g(X²) = 5 x X²= 5X²

Reemplazemos a “X” por un 7

(g o f)(7)= g(f(7))=  g(7²) = 5 x 7²= 5 x 49= 245

Ejercicios:

f: R------->R       f(x)= X + 2

g: R------->R      g(X)= X²

  

Encuentra:

   1)   f o g=

   2)   g o f=

   3)   (f o g) (5)=

   4)   (g o f) (-2)=

Solución:

   1)   (f o g)(x) = f(g(x))= f(x²)= x²+2

   2)   (g o f)(x)= g(f(x))= g(x + 2) = (x + 2)² 

   3)   (f o g)(5)= f(g(5)) = f(5²)= 5² + 2 = 27

   4)   (g o f)(-2)= g(f(-2)) =g(-2+2)= g(0²)= 0

Matemática Educativa: Una visión de su evolución

La enseñanza en general y la de las matemáticas en particular son asuntos de la mayor importancia para la sociedad contemporánea. A lo largo del tiempo, las sociedades han conformado instituciones con el objeto de incorporar a las matemáticas y a la ciencia en la cultura de la sociedad con la clara intención de favorecer entre la población una visión científica del mundo. Este intenso proceso social de culturización científica, nos ha ayudado a reconocer la necesidad de implementar modificaciones educativas en el campo particular de las matemáticas con base en diseños mejor adaptados a las prácticas escolares. Del estudio sistemático de los efectos de tales procesos se ocupa la matemática educativa y en este escrito nos hemos propuesto el ejercicio de describir cierta evolución de sus problemáticas.