Matematica Educativa

domingo, 9 de diciembre de 2007

El círculo

Hay muchos juegos en que utilizan fichas circulares. Por ejemplo el backgammon, en el poker, las damas, etc.










- El radio es la mitad del diámetro, lo mismo que el diámetro es el doble que el radio.
- El ángulo formado por cualquier diámetro es llano (180º). Por lo que deducimos que el círculo tiene 360º.

Veamos si aprendiste.

En esta figura identifica los elementos del circulo M:
1) Centro=______________2) Cuerdas=_____________
3) Radios=______________4) Diametros=____________
5) Ángulos centrales= ______6) Ángulos adyacentes=_____
Razona.
- ¿Es toda cuerda un diámetro?, y ¿es todo diámetro una cuerda?
- ¿Cómo sabes la longitud del radio si conoces la del diámetro?
- Si en un circulo X hay 2 diámetros y conoces la longitud de uno de ellos, ¿puedes saber cuanto mide el otro?

sábado, 12 de mayo de 2007

POLÍGONOS

Las formas que ves en un tablero de ajedrez, un diamante de béisbol y una señal de alto son figuras planas. Los polígonos son figuras planas y cerradas limitadas por segmentos. Si el polígono es regular, todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos la misma medida.


Cuadro de polígonos:

¿Qué relación observas entre los lados y los ángulos de un polígono?

Ejercicios:
Indica cada polígono e indica si es regular o irregular.

Completa estos enunciados:

a- Todo rectángulo es un ______________ porque tiene cuatro lados.
b- Un pentágono tiene 5 lados y 5 ______________.
c- El cuadrado se distingue de otros cuadriláteros porque todos sus lados son __________

Clasifica cada figura como abierta o cerrada.
Clasifica cada polígono como cuadrilátero, pentágono, hexágono u octágono

LA GEOMETRÍA

Nuestra vida esta llena de geometría, cada cosa tiene una forma y cada forma sus partes:

EL PUNTO es un lugar preciso pero sin dimensiones.

LA RECTA es una sucesión infinita de puntos que se prolongan en ambos sentidos sin cambiar de dirección.
EL PLANO es una superficie infinita y llana.

EL SEGMENTO es una porción de recta limitada por dos puntos o EXTREMOS.

LOS RAYOS son la porción de recta que sólo tiene un extremo. Para imaginarte los rayos de un ángulo piensa en el rebote de una pelota o en tu brazo cuando la lanzas.
ANGULO es la figura geométrica formada por dos rayos que parten del mismo punto. El extremo de un ángulo se llama VÉRTICE. Los ángulos se pueden designar según su vértice o según sus lados (o sea, los rayos). Con relación a este ángulo, D es el punto INTERIOR y E es un punto EXTERIOR
Ejercicios:

Identifica y designa las figuras. Usa símbolos.
¿Dónde está P: en l interior, en el exterior o en un lado del ángulo?

RECTAS Y ÁNGULOS

Tomando el ejemplo del despegue de un avión ¿Cuál es el ángulo del despegue?




Para medir los GRADOS (º) de un ángulo puedes usar un TRANSPORTADOR.

Sitúa el centro del transportador en el vértice del ángulo y alinea el diámetro (recta de 0º) con uno de los lados.
El avión forma con el suelo un ángulo de 20º

También puedes usar el transportador para dibujar ángulos


· Traza un rayo y llámalo C.
· Sitúa el centro del transportador en el vértice B de modo que el rayo pase por la marca de 0º.
· Marca un punto en 135º y llámalo A.
· Traza el rayo AB.
Los ángulos se clasifican según su medida.

Las rectas que se cortan se llaman SECANTES.
Dos secantes son PERPENDICULARES si se cortan formando ángulos rectos.
Dos rectas son PARALELAS si están en el mismo plano y no se cortan.


Ejercicios:

Clasifica cada ángulo como agudo, recto, obtuso o extendido.

Clasifica estas rectas como secantes, paralelas o perpendiculares.

PROBABILIDADES

La probabilidad es una razón que parte del número 0 y llega hasta el número 1
Se calcula con la fórmula:
Donde A es un suceso o caso

Veamos un ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 2 al lanzar un dado?
Solución:

Para calcular la probabilidad solo debemos encontrar el número de casos posibles y el número de casos favorables

Al lanzar un dado tenemos 6 casos posibles, los cuales son: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Y los números mayores que 2 son: {3, 4, 5, 6}
Por lo tanto el resultado es:
Ejemplo2:
En una urna hay 6 bolitas blancas, 3 bolitas amarillas y una bolita roja. Extraemos al azar una bolita y nos fijamos solamente en su color. ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita extraída sea de color blanco?

Solución:

Igual que en el primer ejemplo debemos encontrar el numero de casos posibles y el numero de casos favorables
El numero de casos posibles son 10, ya que hay 10 posibilidades de sacar una bolita.
Ahora bien de sacar una bolita blanca solo tengo 6 posibilidades de un total de 10.
Por lo tanto casos favorables:6 y casos posibles:10

El resultado es:
Ejemplo 3:
Un mecánico tiene en su maletín llaves planas de las medidas 9 al 17 mm inclusive. Necesita soltar una tuerca de 11 mm para una reparación. Si elige una de sus llaves al azar, ¿Cuál es la probabilidad que sea de la mediad exacta de la tuerca?

Solución:
Al ver la figura nos damos cuenta de que hay 9 llaves y solo 1 es de 11 mm.
Por lo tanto casos favorables: 1 y casos posibles: 9
El resultado es:
Para el caso de lanzar dos dados o un dado dos veces se tienen en total 36 combinaciones de números, las cuales podemos ver así:
Entonces gracias a este gráfico podemos calcular ejemplos como:
Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sea divisible por tres? Solución:

Usemos el grafico para encontrar todas las combinaciones que pide el ejemplo, se tienen: total de 36

Por lo tanto el resultado es:

Ejemplo 4: Se lanzan dos dados usuales, uno amarillo y uno blanco, ¿Cuál es la probabilidad que al hacerlo el dado amarillo muestre menos puntos que el blanco?

Hazlo tú Otro caso especial es cuando se lanzan dos o más monedas, se tiene que:

Y así sucesivamente…

Ejemplo: José y Daniel juegan a lanzar una moneda. José dice: "Si lanzo dos veces seguidas una moneda al aire tengo más probabilidades de obtener 2 veces cara, que si la lanzo 3 veces". Daniel dice que José está equivocado.¿Quién tiene la razón? ¿Por qué?

Solución:
Para saber quien tiene la razón solo debemos averiguar la probabilidad de sacar dos caras al lanzar dos veces la moneda , y al lanzar tres veces la moneda.

Veamos la figura anterior para encontrar las probabilidades:

Respuesta: la razón la tiene Daniel, ya que la probabilidad de sacar dos caras al lanzar tres veces la moneda es mayor que al lanzarla dos veces.


EJERCICIOS

1) Claudia participa en una rifa de 150 números. Si se venden todos los números y Claudia tiene una probabilidad de de ganar, ¿cuántos números compró?
2) Daniela tiró 8 veces un dado no cargado y en todos los tiros obtuvo un 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento obtenga un 5?

3) Un dado está trucado para que el 6 tenga una probabilidad de salir de 0,25. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un 6?

4) La probabilidad porcentual de sacar un trébol de un naipe de 52 cartas es:
5) Rayén recibe un llavero con 7 llaves, de las cuales sólo abre la puerta des Paraíso. Como no sabe cual es esa llave, comienza a intentar abrir la puerta eligiendo sucesivamente al azar llaves de su llavero, pero teniendo cuidado de no repetir ninguna. ¿Cuál es la probabilidad que logre entrar al Paraíso al tercer intento?

Hasta el momento hemos calculado probabilidades solo dividiendo el número de casos favorables, por el número de casos posibles.

Con ejemplos como:

¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado el número que salga sea impar?

Solución:
Sea A: salga número impar
P(A) = 3/6 = 1/2

Pero como calculamos la probabilidad de que al tirar el dado el número que salga sea menor que 3 ó mayor que 4
Solución: Sean
A: salga menor que 3
B: salga mayor que 4

P(de que el número que salga sea menor que 3 ó mayor que 4) es:

P(A ó B) = P(A) + P(B) = 2/6 + 2/6 = 4/6

¿Por qué? Veamos el siguiente dibujo:

Casos posibles = 6
Casos favorables = 4

Menores que 3 o Mayores que 4

Veamos otro ejemplo.
De una baraja de naipe inglés, con sus 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar un 4 o un 5?

Solución: Sea
A: sacar un 4 ------> P(A) = 4/52
B: sacar un 5 ------> P(B) = 4/52

Por lo tanto: P(A ó B) = P(A) + P(B) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13


Ejemplo 3:
¿Qué tal si consideras de nuevo el mazo de naipe inglés del ejemplo anterior y sacas una carta? Supón que ganas apenas sale una figura o un corazón.

Entonces ¿Cuál es tú probabilidad de éxito?

Solución:
Del total de 52 cartas, las cartas ganadoras son todas las de corazones, las cuales son 13
Y a éstas hay que añadirles las figuras de las otras tres pintas, las cuales son 9
Por lo tanto la probabilidad que tenga éxito será:

Pero como la idea no es estar haciendo dibujos, calculemos esta probabilidad usando lenguaje simbólico como lo habíamos visto anteriormente:

Sea
A: sacar corazón ---------> P(A) = 13/52
B: sacar figura -----------> P(B) = 12/52
P(sacar corazón ó sacar figura)
= P(A ó B)
= P(A) + P (B)
= 13/52 + 12/52
= 25/52

Y nos damos cuenta que los resultados son diferentes ¿Por qué?

Porque en el último cálculo de resultado 25/52, sin darnos cuenta contamos dos veces las 3 figuras de corazón entre los casos favorables.

Entonces P(sacar corazón ó sacar figura)
= P(A ó B)
= P(A) + P (B)
= 13/52 + 12/52
= 25/52
Habría que restarles 3/52, para que el resultado fuera el correcto.

Como conclusión tenemos que:
Siendo
A: sacar corazón
B: sacar figura
P(sacar corazón ó sacar figura) = P(sacar corazón) + P(sacar figura) – P(sacar figura de corazón)

Ahora como regla general del “ ó “ en probabilidades usaremos la siguiente fórmula:

Donde A y B son dos sucesos cualesquiera
(A ó B) quiere decir que ocurra alguno de los dos sucesos
(A y B) quiere decir que A y B ocurren al mismo tiempo

Ejercicios

1) Una bolsa contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 11 bolas negras. Si se extrae una bola al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca o roja?

2) Lanzas 3 monedas y ganas si obtienes más de una cara o un número impar de caras. ¿Cuál es la probabilidad de éxito en este juego?

Como ya vimos como calcular la probabilidad de un “ ó “, veamos ahora como calcular la probabilidad de un “ y “.

Ejemplo:
Si lanzamos un dado dos veces, la probabilidad de obtener 5 en el primer lanzamiento y un 2 en el segundo lanzamiento es:

Solución:
Viendo el cuadro nos damos cuenta que solo una de las 36 combinaciones posibles, cumple la condición del ejemplo.

Por lo tanto P(sacar 5 y sacar 2) = 1/36
Pero ahora resolvamos el ejemplo utilizando lenguaje simbólico y teniendo en cuenta el resultado anterior.

P(sacar 5 y sacar 2)
= P(sacar 5) y P(sacar 2)
= 1/6 y 1/6

¿Cómo podemos conseguir que este resultado sea 1/36?
Fácil, solo multiplicando.

Entonces P(sacar 5 y sacar 2)
= P(sacar 5) · P(sacar 2)
= 1/6 · 1/6
= 1/36

Como regla general del “ y “ tenemos que:



Eso si, siempre y cuando la ocurrencia de un suceso no afecte a la ocurrencia del otro suceso.

1) Si de un naipe de 52 caras sacamos una carta primero y otra después, reponiendo la primera al mazo, la probabilidad de obtener un corazón en la primera carta y un as en la segunda es:

2) Si de un naipe de 52 cartas sacamos sucesivamente dos cartas, la probabilidad de obtener 2 tréboles es:

3) En una caja hay fichas de color blanco, rojo y azul. Hay en total 14 fichas, 5 de ellas son blancas y la probabilidad de sacar una blanca o azul es 4/7. el número de fichas azules es entonces:

4) La probabilidad de que un alumno haya aprobado la parte teórica del examen para obtener licencia para conducir es 0,68; la de que haya aprobado el examen práctico es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Elegido un alumno al azar, la probabilidad de que haya aprobado el examen para obtener licencia es:

sábado, 5 de mayo de 2007

TRIÁNGULOS

Los triángulos se pueden clasificar según la longitud de sus lados:


Los triángulos también se clasifican según las medidas de sus ángulos:



Los ángulos de un triangulo suman SIEMPRE 180º

* Si un triangulo obtusángulo tiene 1 ángulo obtuso, ¿cómo son los otros 2 ángulos? ¿Por que?

Los otros 2 ángulos son agudos, porque tienen que cumplir que en el interior del triángulo los ángulos sumen 180º.

* ¿Puede un triangulo ser acutángulo e isósceles? ¿Y rectángulo y escaleno? ¿Por qué?

Si, el acutángulo y el isósceles tienen ángulos agudos, y el rectángulo con el escaleno siempre que el rectángulo tenga sus lados distintos.

* ¿Puede un triangulo tener ángulos de 55º, 90º y 45º? ¿Y de 23º, 57º y 100º? ¿Por qué?

No, solo en el segundo caso, puesto que los ángulos suman 180º:

1º caso: 55º + 90º + 45º = 190º
2º caso: 23º + 57º + 100º = 180º


Ahora pon en práctica todo lo que haz aprendido.

Ejercicios: Hallar los ángulos que faltan.


CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros son cualquier polígono que posea 4 lados. Los podemos encontrar hasta en los juegos, como en el ajedrez y las damas que se juegan sobre tableros cuadrados divididos en cuadrados menores

Algunos cuadriláteros tienen nombres específicos:


DIAGONAL: es un segmento que une a dos vértices de un polígono sin ser de sus lados. Las diagonales te ayudarán a sumar medidas de ángulos.

Al trazar una diagonal en la figura, se forman 2 triángulos ¿Qué pasa si trazas 2 diagonales? Inténtalo.

Los ángulos de un cuadrilátero suman SIEMPRE 360º

Ahora pon en práctica todo lo que haz aprendido

Ejercicios: Identifica que tipo de cuadrilátero es y halla los ángulos que faltan.