Matematica Educativa

sábado, 12 de mayo de 2007

PROBABILIDADES

La probabilidad es una razón que parte del número 0 y llega hasta el número 1
Se calcula con la fórmula:
Donde A es un suceso o caso

Veamos un ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 2 al lanzar un dado?
Solución:

Para calcular la probabilidad solo debemos encontrar el número de casos posibles y el número de casos favorables

Al lanzar un dado tenemos 6 casos posibles, los cuales son: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Y los números mayores que 2 son: {3, 4, 5, 6}
Por lo tanto el resultado es:
Ejemplo2:
En una urna hay 6 bolitas blancas, 3 bolitas amarillas y una bolita roja. Extraemos al azar una bolita y nos fijamos solamente en su color. ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita extraída sea de color blanco?

Solución:

Igual que en el primer ejemplo debemos encontrar el numero de casos posibles y el numero de casos favorables
El numero de casos posibles son 10, ya que hay 10 posibilidades de sacar una bolita.
Ahora bien de sacar una bolita blanca solo tengo 6 posibilidades de un total de 10.
Por lo tanto casos favorables:6 y casos posibles:10

El resultado es:
Ejemplo 3:
Un mecánico tiene en su maletín llaves planas de las medidas 9 al 17 mm inclusive. Necesita soltar una tuerca de 11 mm para una reparación. Si elige una de sus llaves al azar, ¿Cuál es la probabilidad que sea de la mediad exacta de la tuerca?

Solución:
Al ver la figura nos damos cuenta de que hay 9 llaves y solo 1 es de 11 mm.
Por lo tanto casos favorables: 1 y casos posibles: 9
El resultado es:
Para el caso de lanzar dos dados o un dado dos veces se tienen en total 36 combinaciones de números, las cuales podemos ver así:
Entonces gracias a este gráfico podemos calcular ejemplos como:
Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sea divisible por tres? Solución:

Usemos el grafico para encontrar todas las combinaciones que pide el ejemplo, se tienen: total de 36

Por lo tanto el resultado es:

Ejemplo 4: Se lanzan dos dados usuales, uno amarillo y uno blanco, ¿Cuál es la probabilidad que al hacerlo el dado amarillo muestre menos puntos que el blanco?

Hazlo tú Otro caso especial es cuando se lanzan dos o más monedas, se tiene que:

Y así sucesivamente…

Ejemplo: José y Daniel juegan a lanzar una moneda. José dice: "Si lanzo dos veces seguidas una moneda al aire tengo más probabilidades de obtener 2 veces cara, que si la lanzo 3 veces". Daniel dice que José está equivocado.¿Quién tiene la razón? ¿Por qué?

Solución:
Para saber quien tiene la razón solo debemos averiguar la probabilidad de sacar dos caras al lanzar dos veces la moneda , y al lanzar tres veces la moneda.

Veamos la figura anterior para encontrar las probabilidades:

Respuesta: la razón la tiene Daniel, ya que la probabilidad de sacar dos caras al lanzar tres veces la moneda es mayor que al lanzarla dos veces.


EJERCICIOS

1) Claudia participa en una rifa de 150 números. Si se venden todos los números y Claudia tiene una probabilidad de de ganar, ¿cuántos números compró?
2) Daniela tiró 8 veces un dado no cargado y en todos los tiros obtuvo un 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento obtenga un 5?

3) Un dado está trucado para que el 6 tenga una probabilidad de salir de 0,25. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un 6?

4) La probabilidad porcentual de sacar un trébol de un naipe de 52 cartas es:
5) Rayén recibe un llavero con 7 llaves, de las cuales sólo abre la puerta des Paraíso. Como no sabe cual es esa llave, comienza a intentar abrir la puerta eligiendo sucesivamente al azar llaves de su llavero, pero teniendo cuidado de no repetir ninguna. ¿Cuál es la probabilidad que logre entrar al Paraíso al tercer intento?

Hasta el momento hemos calculado probabilidades solo dividiendo el número de casos favorables, por el número de casos posibles.

Con ejemplos como:

¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado el número que salga sea impar?

Solución:
Sea A: salga número impar
P(A) = 3/6 = 1/2

Pero como calculamos la probabilidad de que al tirar el dado el número que salga sea menor que 3 ó mayor que 4
Solución: Sean
A: salga menor que 3
B: salga mayor que 4

P(de que el número que salga sea menor que 3 ó mayor que 4) es:

P(A ó B) = P(A) + P(B) = 2/6 + 2/6 = 4/6

¿Por qué? Veamos el siguiente dibujo:

Casos posibles = 6
Casos favorables = 4

Menores que 3 o Mayores que 4

Veamos otro ejemplo.
De una baraja de naipe inglés, con sus 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar un 4 o un 5?

Solución: Sea
A: sacar un 4 ------> P(A) = 4/52
B: sacar un 5 ------> P(B) = 4/52

Por lo tanto: P(A ó B) = P(A) + P(B) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13


Ejemplo 3:
¿Qué tal si consideras de nuevo el mazo de naipe inglés del ejemplo anterior y sacas una carta? Supón que ganas apenas sale una figura o un corazón.

Entonces ¿Cuál es tú probabilidad de éxito?

Solución:
Del total de 52 cartas, las cartas ganadoras son todas las de corazones, las cuales son 13
Y a éstas hay que añadirles las figuras de las otras tres pintas, las cuales son 9
Por lo tanto la probabilidad que tenga éxito será:

Pero como la idea no es estar haciendo dibujos, calculemos esta probabilidad usando lenguaje simbólico como lo habíamos visto anteriormente:

Sea
A: sacar corazón ---------> P(A) = 13/52
B: sacar figura -----------> P(B) = 12/52
P(sacar corazón ó sacar figura)
= P(A ó B)
= P(A) + P (B)
= 13/52 + 12/52
= 25/52

Y nos damos cuenta que los resultados son diferentes ¿Por qué?

Porque en el último cálculo de resultado 25/52, sin darnos cuenta contamos dos veces las 3 figuras de corazón entre los casos favorables.

Entonces P(sacar corazón ó sacar figura)
= P(A ó B)
= P(A) + P (B)
= 13/52 + 12/52
= 25/52
Habría que restarles 3/52, para que el resultado fuera el correcto.

Como conclusión tenemos que:
Siendo
A: sacar corazón
B: sacar figura
P(sacar corazón ó sacar figura) = P(sacar corazón) + P(sacar figura) – P(sacar figura de corazón)

Ahora como regla general del “ ó “ en probabilidades usaremos la siguiente fórmula:

Donde A y B son dos sucesos cualesquiera
(A ó B) quiere decir que ocurra alguno de los dos sucesos
(A y B) quiere decir que A y B ocurren al mismo tiempo

Ejercicios

1) Una bolsa contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 11 bolas negras. Si se extrae una bola al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca o roja?

2) Lanzas 3 monedas y ganas si obtienes más de una cara o un número impar de caras. ¿Cuál es la probabilidad de éxito en este juego?

Como ya vimos como calcular la probabilidad de un “ ó “, veamos ahora como calcular la probabilidad de un “ y “.

Ejemplo:
Si lanzamos un dado dos veces, la probabilidad de obtener 5 en el primer lanzamiento y un 2 en el segundo lanzamiento es:

Solución:
Viendo el cuadro nos damos cuenta que solo una de las 36 combinaciones posibles, cumple la condición del ejemplo.

Por lo tanto P(sacar 5 y sacar 2) = 1/36
Pero ahora resolvamos el ejemplo utilizando lenguaje simbólico y teniendo en cuenta el resultado anterior.

P(sacar 5 y sacar 2)
= P(sacar 5) y P(sacar 2)
= 1/6 y 1/6

¿Cómo podemos conseguir que este resultado sea 1/36?
Fácil, solo multiplicando.

Entonces P(sacar 5 y sacar 2)
= P(sacar 5) · P(sacar 2)
= 1/6 · 1/6
= 1/36

Como regla general del “ y “ tenemos que:



Eso si, siempre y cuando la ocurrencia de un suceso no afecte a la ocurrencia del otro suceso.

1) Si de un naipe de 52 caras sacamos una carta primero y otra después, reponiendo la primera al mazo, la probabilidad de obtener un corazón en la primera carta y un as en la segunda es:

2) Si de un naipe de 52 cartas sacamos sucesivamente dos cartas, la probabilidad de obtener 2 tréboles es:

3) En una caja hay fichas de color blanco, rojo y azul. Hay en total 14 fichas, 5 de ellas son blancas y la probabilidad de sacar una blanca o azul es 4/7. el número de fichas azules es entonces:

4) La probabilidad de que un alumno haya aprobado la parte teórica del examen para obtener licencia para conducir es 0,68; la de que haya aprobado el examen práctico es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Elegido un alumno al azar, la probabilidad de que haya aprobado el examen para obtener licencia es:

17 comentarios:

Israel dijo...

Excelente material!!!...
En verdad que es de una gran ayuda ya que esta muy bien explicado, el que no le entienda que se ponga mejor a realizar otra cosa...

RoQuE dijo...

Que mejor manera de explicarlo todo.

juan david dijo...

este portal esta exelente encontre una parte de la solucion de un problema de estadistica pero me dieron la base, exelente estos son los contenidos que mas se deberian difundir en la internet

stephannie dijo...

muchas gracias !! esta muy bien explicado todoo ! gracias

lxsvllnv74 dijo...

Muy bien explicado!

alexis dijo...

bien explicado

Jennifer Romani dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Jennifer Romani dijo...

Gracias por la explicacion, es de gran ayuda y muy ilustrativa

optima dijo...

como lo uso en la fabrica?

benny dijo...

tan clarito como el aguita, muchas gracias, se pasaron

Dgo Orrego Hidalgo dijo...

Buenisimo

SEDAME dijo...

Muy buenooooooo!!!!!

SEDAME dijo...

Muy buenooooooo!!!!!

ovnis en neiva huila dijo...

puede ayudarme...

Jorge Ramiro dijo...

Excelente, yo justo estaba buscando algunos ejercicios de probabilidad y esto me sirvió para comprenderlos.

Pascale Santander dijo...

Muchas Gracias, Me ayudaste un montón :D

Davidi dijo...

Hay 2 probabilidades de que aparescan un 5,2 en el total de 36. Saludos!