Matematica Educativa

sábado, 28 de abril de 2007

FUNCIONES


FUNCIONES

Los conceptos de ecuación y el de función están fuertemente relacionados,

En la función se involucran dos conjuntos y una regla de asociación (que puede venir dada en forma de ecuación)


Las funciones en matemáticas permiten  sacar más información de los datos representados de lo que se ve a simple vista.

En muchos casos, resolver un problema científico consiste en encontrar la función que relaciona dos o más variables

Algunas aplicaciones: las leyes de Kepler, que describen las órbitas de los planetas, es decir, son reglas de asociaciones representadas como ecuaciones que describen cómo se mueven los planetas alrededor del Sol.

En meteorología permite conocer la temperatura, humedad, velocidad de viento, etc. en los días venideros. En la economía nos interesaría saber cómo van a variar los precios de bienes y servicios para invertir en la opción más prometedora. En la química se desea saber cuánto de tal o cual sustancia y a qué temperatura, presión, etc. generará tal cantidad de otra sustancia.

Todas estas son a base de funciones.



Producto o Composición de Funciones.

La idea principal es la aplicación sucesiva de funciones, esto es aplicar una función a continuación de otra.

Ejemplo.


Sea f:  Z -------> Z definida por f(X)= 3X - 1 
       g: Z -------> Z  definida por g(X)= 2X2

( Z------>Z, se lee "del conjunto Z al Z",osea que "X" puede ser cualquier número contenido dentro del conjunto Z)

Ambas funciones, se aplican a un número cualquiera, tomemos el 4, entonces la “X” va a ser igual a 4.

Primero se resuelve “f” y luego “g”, la función abreviada se escribe: g(f(4)).

f(4)= 3 x 4 – 1= 11

Entonces…

g(f(4)) = g(11) = 2 x 112 = 242


La función g(f) es llamada una composición de las funciones “f y g”
Se anota como “g o f”
Se lee “g aplicada a f” o “f seguida de g”

No es lo mismo “g o f” (la anterior) con “f o g”  

Comprobémoslo, con “f o g”. Con X = 4

f(g(x)).

g(4)=2 x 42 = 32

f(g(4))= f(32)= 3 x 32 – 1= 95


Los siguientes diagramas representan las situaciones a ejemplos anteriores



Generalizando el concepto de composición de funciones consideramos 2 funciones:

f : A ---> B ; g : B ---> C

Llamaremos composición de funciones de f y g a la función “g o f : A --> C”

Definido como: (g o f)(x) = g( f (x )) para todo x € A

Debemos hacer notar que para que la composición tenga sentido deberá cumplirse que la imagen de f este contenida en el dominio de g



f: Z ------> Z        f(x) = X2     
g: Z------> Z        g(x) = 5X

Seria...
(g o f)(x)= g(f(X))=  g(X2) = 5 x X2= 5X2

Reemplazemos a “X” por un 7
(g o f)(7)= g(f(7))=  g(72) = 5 x 72= 5 x 49= 245




Ejercicios:
f: R------->R       f(x)= X + 2
g: R------->R      g(X)= X2

  
Encuentra:
   1)   f o g=
   2)   g o f=
   3)   (f o g) (5)=
   4)   (g o f) (-2)=


Solución:
   1)   (f o g)(x) = f(g(x))= f(x2)= x2+2
   2)   (g o f)(x)= g(f(x))= g(x + 2) = (x + 2)
   3)   (f o g)(5)= f(g(5)) = f(52)= 52 + 2 = 27
   4)   (g o f)(-2)= g(f(-2)) =g(-2+2)= g(02)= 0